Неполные квадратные уравнения. Часть 1

  Автор:
  7162

Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли это уравнение неполным квадратным уравнением? А как решать неполные квадратные уравнения?

Как узнать «в лицо» неполное квадратное уравнение

Левая часть уравнения 3x^2+5x-8=0 есть квадратный трёхчлен, а праваячисло 0. Такие уравнения называют полными квадратными уравнениями.

У полного квадратного уравнения все коэффициенты a, b и c не равны  0. Для их решения существуют специальные формулы, с которыми мы познакомимся позднее.

Наиболее простыми для решения являются неполные квадратные уравнения. Это такие квадратные уравнения, в которых некоторые коэффициенты равны нулю.

Коэффициент a по определению не может быть равным нулю, так как иначе уравнение не будет квадратным. Об этом мы говорили здесь. Значит, получается, что обратиться в нуль могут только коэффициенты  b  или c.

В зависимости от этого существует три вида неполных квадратных уравнений.

1)  ax^2+bx=0, где \ b\neq 0,c=0;
2)  ax^2+c=0, где \ b=0,c\neq 0;
3) ax^2=0, где \ b=0,c=0.

Итак, если мы видим квадратное уравнение, в левой части которого вместо трёх членов присутствуют два члена или один член, то такое уравнение будет неполным квадратным уравнением.

К содержанию

Определение неполного квадратного уравнения

Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение ax^2+bx+c=0, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

В этом определении есть очень важное словосочетание «хотя бы один из коэффициентов … равен нулю«. Это значит, что один или больше коэффициентов могут равняться нулю.

Исходя из этого возможны три варианта: или один коэффициент равен нулю, или другой коэффициент равен нулю, или оба коэффициента одновременно равны нулю. Вот так и получаются три вида неполного квадратного уравнения.

Неполными квадратными уравнениями являются такие уравнения:
1) 3x^2+5x=0
2) 25x^2-4x=0
3) 7x^2=0

К содержанию

Решение уравнения 3x^2+5x=0

Наметим план решения этого уравнения. Левую часть уравнения можно легко разложить на множители, так как в левой части уравнения у членов 3x^2 и 5x есть общий множитель x, его можно вынести за скобку. Тогда слева получится произведение двух множителей, а справа — нуль.

А затем будет работать правило «произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл». Всё очень просто!

Итак, план решения.
1) Левую часть раскладываем на множители.
2) Пользуемся правилом «произведение равно нулю…»

Уравнения подобного типа я называю «подарок судьбы». Это такие уравнения, у которых правая часть равна нулю, а левую часть можно разложить на множители.

Решаем уравнение 3x^2+5x=0 по плану.

1) Разложим левую часть уравнения на множители, для этого вынесем общий множитель x, получим такое уравнение x\cdot(3x+5)=0.

2) В уравнении x\cdot(3x+5)=0 мы видим, что слева стоит произведение, а справа нуль.

Настоящий подарок судьбы! Здесь мы, конечно, воспользуемся правилом  «произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл«.

При переводе  этого правила на язык математики получим два уравнения x=0 или 3x+5=0.

Мы видим, что уравнение x\cdot(3x+5)=0 распалось на два более простых уравнения, первое из которых уже решено (x=0).

Решим второе уравнение 3x+5=0. Перенесём неизвестные члены влево, а известные вправо. Неизвестный член 3x уже стоит слева, мы его там и оставим. А известный член +5 перенесём вправо с противоположным знаком. Получим уравнение 3x=-5.

Мы нашли 3x, а нам надо найти x. Чтобы избавиться от множителя 3, надо обе части уравнения 3x=-5 разделить на 3.

Получим \frac{3x}{3}=\frac{-5}{3}, откуда x=-1\frac{2}{3}. Уравнение решено!

Мы нашли два корня уравнения 3x^2+5x=0. Первый корень равен 0, а второй корень равен -1\frac{2}{3}.

К содержанию

Запись решения в тетради

3x^2+5x=0.

x\cdot(3x+5)=0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл, то есть

x=0 или 3x+5=0

3x+5=0

3x=-5\vert:3

\frac{3x}{3}=\frac{-5}{3}

x=-1\frac{2}{3}

Ответ: -1\frac{2}{3}; 0.

К содержанию

Интересная статья? Поделитесь ею, пожалуйста, с другими:

Нина Николайчук

Как успешно обучать математике? Как научить каждого ученика? Как предупредить неуспеваемость? Как помочь слабоуспевающим детям? Я, Нина Васильевна Николайчук, учитель математики с 40-летним опытом работы, всегда рада помочь!

Подпишитесь на новости блога
Оставьте свой комментарий:

Комментарии на Блог
2 комментария
  1. Екатерина

    Вы самый лучший учитель!!!

Добавить комментарий для Нина Николайчук Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован.

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.