Неполные квадратные уравнения. Часть 1

  Автор:
  3436

Из этой статьи Вы узнаете:

  1. Как узнать «в лицо» неполное квадратное уравнение
  2. Определение неполного квадратного уравнения
  3. Решение уравнения $$3x^2+5x=0$$
  4. Запись решения уравнения $$3x^2+5x=0$$ в тетради

Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли это уравнение неполным квадратным уравнением? А как решать неполные квадратные уравнения?

Как узнать «в лицо» неполное квадратное уравнение

Левая часть уравнения [pmath size=16]3x^2+5x~-~8=~0[/pmath] есть квадратный трёхчлен, а праваячисло [pmath size=16]0[/pmath]. Такие уравнения называют полными квадратными уравнениями.

У полного квадратного уравнения все коэффициенты [pmath size=16]a[/pmath], [pmath size=16]b[/pmath] и [pmath size=16]c[/pmath] не равны [pmath size=16]0[/pmath]. Для их решения существуют специальные формулы, с которыми мы познакомимся позднее.

Наиболее простыми для решения являются неполные квадратные уравнения. Это такие квадратные уравнения, в которых некоторые коэффициенты равны нулю.

Коэффициент [pmath size=16]a[/pmath] по определению не может быть равным нулю, так как иначе уравнение не будет квадратным. Об этом мы говорили здесь. Значит, получается, что обратиться в нуль могут только коэффициенты  [pmath size=16]b[/pmath]  или  [pmath size=16]c[/pmath].

В зависимости от этого существует три вида неполных квадратных уравнений.

1)  [pmath size=16]ax^2+bx=~0[/pmath], где $$\ b\neq 0,c=0$$;
2)  [pmath size=16]ax^2+c=~0[/pmath], где $$\ b=0,c\neq 0$$;
3)  [pmath size=16]ax^2=~0[/pmath], где $$\ b=0,c=0$$.

Итак, если мы видим квадратное уравнение, в левой части которого вместо трёх членов присутствуют два члена или один член, то такое уравнение будет неполным квадратным уравнением.

Определение неполного квадратного уравнения

Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение [pmath size=16]ax^2+~bx~+~c=~0[/pmath], в котором хотя бы один из коэффициентов [pmath size=16]b[/pmath] или [pmath size=16]c[/pmath] равен нулю.

В этом определении есть очень важное словосочетание «хотя бы один из коэффициентов … равен нулю«. Это значит, что один или больше коэффициентов могут равняться нулю.

Исходя из этого возможны три варианта: или один коэффициент равен нулю, или другой коэффициент равен нулю, или оба коэффициента одновременно равны нулю. Вот так и получаются три вида неполного квадратного уравнения.

Неполными квадратными уравнениями являются такие уравнения:
1) [pmath size=16]3x^2+~5x=~0[/pmath]
2) [pmath size=16]25x^2-~4x=~0[/pmath]
3) [pmath size=16]7x^2=~0[/pmath]

Решение уравнения  [pmath size=16]3x^2+~5x~=~0[/pmath]

Наметим план решения этого уравнения. Левую часть уравнения можно легко разложить на множители, так как в левой части уравнения у членов [pmath size=16]3x^2[/pmath] и [pmath size=16]5x[/pmath] есть общий множитель [pmath size=16]x[/pmath], его можно вынести за скобку. Тогда слева получится произведение двух множителей, а справа — нуль.

А затем будет работать правило «произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл». Всё очень просто!

Итак, план решения.
1) Левую часть раскладываем на множители.
2) Пользуемся правилом «произведение равно нулю…»

Уравнения подобного типа я называю «подарок судьбы». Это такие уравнения, у которых правая часть равна нулю, а левую часть можно разложить на множители.

Решаем уравнение [pmath size=16]3x^2+~5x~=~0[/pmath] по плану.

1) Разложим левую часть уравнения на множители, для этого вынесем общий множитель [pmath size=16]x[/pmath], получим такое уравнение $$x\cdot(3x+5)=0$$.

2) В уравнении $$x\cdot(3x+5)=0$$ мы видим, что слева стоит произведение, а справа нуль. Настоящий подарок судьбы! Здесь мы, конечно, воспользуемся правилом  «произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл«. При переводе  этого правила на язык математики получим два уравнения $$x=0$$ или $$3x+5=0$$.

Мы видим, что уравнение $$x\cdot(3x+5)=0$$ распалось на два более простых уравнения, первое из которых уже решено ($$x=0$$).

Решим второе уравнение $$3x+5=0$$. Перенесём неизвестные члены влево, а известные вправо. Неизвестный член $$3x$$ уже стоит слева, мы его там и оставим. А известный член $$+5$$ перенесём вправо с противоположным знаком. Получим уравнение $$3x=-5$$.

Мы нашли $$3x$$, а нам надо найти $$x$$. Чтобы избавиться от множителя $$3$$, надо обе части уравнения $$3x=-5$$ разделить на $$3$$.

Получим $$\frac{3x}{3}=\frac{-5}{3}$$, откуда $$x=-1\frac{2}{3}$$. Уравнение решено!

Мы нашли два корня уравнения $$3x^2+5x=0$$. Первый корень равен $$0$$, а второй корень равен $$-1\frac{2}{3}$$.

Запись решения в тетради

$$3x^2+5x=0$$.

$$x\cdot(3x+5)=0$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл, то есть

$$x=0$$ или $$3x+5=0$$

$$3x+5=0$$

$$3x=-5\vert:3$$

$$\frac{3x}{3}=\frac{-5}{3}$$

$$x=-1\frac{2}{3}$$

Ответ: $$-1\frac{2}{3}$$; $$0$$.

Интересная статья? Поделитесь ею, пожалуйста, с другими:
Оставьте свой комментарий:
2 комментария
  1. Екатерина

    Вы самый лучший учитель!!!

на Блоге
в Вконтакте
в Фейсбук