Неполные квадратные уравнения. Часть 1

Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли это уравнение неполным квадратным уравнением? А как решать неполные квадратные уравнения?

Как узнать «в лицо» неполное квадратное уравнение

Левая часть уравнения есть квадратный трёхчлен, а правая — число 0. Такие уравнения называют полными квадратными уравнениями.

У полного квадратного уравнения все коэффициенты , и не равны  0. Для их решения существуют специальные формулы, с которыми мы познакомимся позднее.

Наиболее простыми для решения являются неполные квадратные уравнения. Это такие квадратные уравнения, в которых некоторые коэффициенты равны нулю.

Коэффициент по определению не может быть равным нулю, так как иначе уравнение не будет квадратным. Об этом мы говорили здесь. Значит, получается, что обратиться в нуль могут только коэффициенты    или .

В зависимости от этого существует три вида неполных квадратных уравнений.

1)  , где ;
2)  , где ;
3) , где .

Итак, если мы видим квадратное уравнение, в левой части которого вместо трёх членов присутствуют два члена или один член, то такое уравнение будет неполным квадратным уравнением.

К содержанию

Определение неполного квадратного уравнения

Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение , в котором хотя бы один из коэффициентов или равен нулю.

В этом определении есть очень важное словосочетание «хотя бы один из коэффициентов … равен нулю«. Это значит, что один или больше коэффициентов могут равняться нулю.

Исходя из этого возможны три варианта: или один коэффициент равен нулю, или другой коэффициент равен нулю, или оба коэффициента одновременно равны нулю. Вот так и получаются три вида неполного квадратного уравнения.

Неполными квадратными уравнениями являются такие уравнения:
1)
2)
3)

К содержанию

Решение уравнения

Наметим план решения этого уравнения. Левую часть уравнения можно легко разложить на множители, так как в левой части уравнения у членов  и  есть общий множитель , его можно вынести за скобку. Тогда слева получится произведение двух множителей, а справа — нуль.

А затем будет работать правило «произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл». Всё очень просто!

Итак, план решения.
1) Левую часть раскладываем на множители.
2) Пользуемся правилом «произведение равно нулю…»

Уравнения подобного типа я называю «подарок судьбы». Это такие уравнения, у которых правая часть равна нулю, а левую часть можно разложить на множители.

Решаем уравнение по плану.

1) Разложим левую часть уравнения на множители, для этого вынесем общий множитель , получим такое уравнение .

2) В уравнении мы видим, что слева стоит произведение, а справа нуль.

Настоящий подарок судьбы! Здесь мы, конечно, воспользуемся правилом  «произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл«.

При переводе  этого правила на язык математики получим два уравнения или .

Мы видим, что уравнение распалось на два более простых уравнения, первое из которых уже решено ().

Решим второе уравнение . Перенесём неизвестные члены влево, а известные вправо. Неизвестный член уже стоит слева, мы его там и оставим. А известный член перенесём вправо с противоположным знаком. Получим уравнение .

Мы нашли , а нам надо найти . Чтобы избавиться от множителя , надо обе части уравнения разделить на .

Получим , откуда . Уравнение решено!

Мы нашли два корня уравнения . Первый корень равен , а второй корень равен .

К содержанию

Запись решения в тетради

.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл, то есть

или

Ответ: ; .

К содержанию