Неполные квадратные уравнения. Часть 1

  Автор:
  3653

Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли это уравнение неполным квадратным уравнением? А как решать неполные квадратные уравнения?

Как узнать «в лицо» неполное квадратное уравнение

Левая часть уравнения 3x^2+5x-8=0 есть квадратный трёхчлен, а праваячисло 0. Такие уравнения называют полными квадратными уравнениями.

У полного квадратного уравнения все коэффициенты a, b и c не равны  0. Для их решения существуют специальные формулы, с которыми мы познакомимся позднее.

Наиболее простыми для решения являются неполные квадратные уравнения. Это такие квадратные уравнения, в которых некоторые коэффициенты равны нулю.

Коэффициент a по определению не может быть равным нулю, так как иначе уравнение не будет квадратным. Об этом мы говорили здесь. Значит, получается, что обратиться в нуль могут только коэффициенты  b  или c.

В зависимости от этого существует три вида неполных квадратных уравнений.

1)  ax^2+bx=0, где \ b\neq 0,c=0;
2)  ax^2+c=0, где \ b=0,c\neq 0;
3) ax^2=0, где \ b=0,c=0.

Итак, если мы видим квадратное уравнение, в левой части которого вместо трёх членов присутствуют два члена или один член, то такое уравнение будет неполным квадратным уравнением.

К содержанию

Определение неполного квадратного уравнения

Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение ax^2+bx+c=0, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

В этом определении есть очень важное словосочетание «хотя бы один из коэффициентов … равен нулю«. Это значит, что один или больше коэффициентов могут равняться нулю.

Исходя из этого возможны три варианта: или один коэффициент равен нулю, или другой коэффициент равен нулю, или оба коэффициента одновременно равны нулю. Вот так и получаются три вида неполного квадратного уравнения.

Неполными квадратными уравнениями являются такие уравнения:
1) 3x^2+5x=0
2) 25x^2-4x=0
3) 7x^2=0

К содержанию

Решение уравнения 3x^2+5x=0

Наметим план решения этого уравнения. Левую часть уравнения можно легко разложить на множители, так как в левой части уравнения у членов 3x^2 и 5x есть общий множитель x, его можно вынести за скобку. Тогда слева получится произведение двух множителей, а справа — нуль.

А затем будет работать правило «произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл». Всё очень просто!

Итак, план решения.
1) Левую часть раскладываем на множители.
2) Пользуемся правилом «произведение равно нулю…»

Уравнения подобного типа я называю «подарок судьбы». Это такие уравнения, у которых правая часть равна нулю, а левую часть можно разложить на множители.

Решаем уравнение 3x^2+5x=0 по плану.

1) Разложим левую часть уравнения на множители, для этого вынесем общий множитель x, получим такое уравнение x\cdot(3x+5)=0.

2) В уравнении x\cdot(3x+5)=0 мы видим, что слева стоит произведение, а справа нуль.

Настоящий подарок судьбы! Здесь мы, конечно, воспользуемся правилом  «произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл«.

При переводе  этого правила на язык математики получим два уравнения x=0 или 3x+5=0.

Мы видим, что уравнение x\cdot(3x+5)=0 распалось на два более простых уравнения, первое из которых уже решено (x=0).

Решим второе уравнение 3x+5=0. Перенесём неизвестные члены влево, а известные вправо. Неизвестный член 3x уже стоит слева, мы его там и оставим. А известный член +5 перенесём вправо с противоположным знаком. Получим уравнение 3x=-5.

Мы нашли 3x, а нам надо найти x. Чтобы избавиться от множителя 3, надо обе части уравнения 3x=-5 разделить на 3.

Получим \frac{3x}{3}=\frac{-5}{3}, откуда x=-1\frac{2}{3}. Уравнение решено!

Мы нашли два корня уравнения 3x^2+5x=0. Первый корень равен 0, а второй корень равен -1\frac{2}{3}.

К содержанию

Запись решения в тетради

3x^2+5x=0.

x\cdot(3x+5)=0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл, то есть

x=0 или 3x+5=0

3x+5=0

3x=-5\vert:3

\frac{3x}{3}=\frac{-5}{3}

x=-1\frac{2}{3}

Ответ: -1\frac{2}{3}; 0.

К содержанию

Интересная статья? Поделитесь ею, пожалуйста, с другими:
Оставьте свой комментарий:
2 комментария
  1. Екатерина

    Вы самый лучший учитель!!!

на Блоге
в Вконтакте
в Фейсбук