Неполные квадратные уравнения. Часть 2

  Автор:
  1646

Из этой статьи Вы узнаете:

  1. Первый способ решения уравнения $$25x^2-4=0$$
  2. Запись решения первым способом в тетради
  3. Второй способ решения уравнения $$25x^2-4=0$$
  4. Запись решения вторым способом в тетради

Решим уравнение $$25x^2-4=0$$.
Это уравнение можно решить двумя способами.

Во-первых, это тоже «подарок судьбы», так как справа нуль, а левую часть можно разложить на множители по формуле разность квадратов двух выражений.

Во-вторых можно использовать способ, условно называющийся «неизвестные члены — влево, известные — вправо».

Первый способ решения уравнения $$25x^2-4=0$$

Левую часть уравнения разложим на множители.
$$25x^2-4=0$$
Каждое слагаемое левой части представим в виде квадрата, получим такое уравнение $$(5x)^2-2^2=0$$.

Слева явно видна формула разность квадратов двух выражений. По этой формуле разложим левую часть на множители, получим уравнение $$(5x-2)\cdot(5x+2)=0$$.

Слева стоит произведение двух множителей, справа — нуль. То есть эту ситуация можно прочитать по-русски так: произведение равно нулю.

А мы знаем, что произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Таким образом, уравнение распадается на два более простых линейных уравнения. Получается такая запись $$5x-2=0$$ или $$5x+2=0$$.

Каждое из этих уравнений решаем способом «неизвестные — влево, известные — вправо». Не забываем при этом менять знаки у тех членов, которые переносим из одной части уравнения в другую.

Получим следующее $$5x=2$$ или $$5x=-2$$. Чтобы избавиться от коэффициента $$5$$ перед $$x$$, обе части каждого уравнения разделим на $$5$$.

Уравнения станут такими $$\frac{5x}{5}=\frac{2}{5}$$ или $$\frac{5x}{5}=\frac{-2}{5}$$.

После элементарных преобразований получим $$x=\frac{2}{5}$$ или $$x=-\frac{2}{5}$$. Каждую из полученных обыкновенных дробей можно превратить в десятичную, получим $$x=0,4$$ или $$x=-0,4$$. Уравнение решено.

Запись решения первым способом в тетради

$$25x^2-4=0$$

$$(5x)^2-2^2=0$$

$$(5x-2)\cdot(5x+2)=0$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл, то есть

$$5x-2=0$$         или           $$5x+2=0$$

$$5x=2~|:5$$            или       $$5x=-2~|:5$$

$$x=\frac{2}{5}$$                          или     $$x=-\frac{2}{5}$$

$$x=0,4$$                          или $$x=-0,4$$

Ответ: $$-0,4;$$  $$0,4$$

Второй способ решения уравнения $$25x^2-4=0$$

$$25x^2-4=0$$

Так как в левой части уравнения один член неизвестный (он содержит переменную $$x$$), а второй член известный, то можно воспользоваться способом «неизвестные — влево, известные — вправо».

Оставим неизвестный член $$25x^2$$ слева, а известный член $$(-4)$$ перенесём в правую часть с противоположным знаком, получим $$25x^2=4$$.

Из этого уравнения нам надо найти $$x$$. Иными словами надо сделать так, чтобы в левой части уравнения стояла только буква $$x$$. Значит, надо избавиться от $$25$$ и от $$x$$.

Вначале избавимся от числа $$25$$. Число $$25$$ умножается на $$x^2$$, а от умножения избавляемся делением.

Итак, для того, чтобы избавиться от $$25$$, обе части уравнения $$25x^2=4$$ разделим на это число $$25$$, получим $$\frac{25x^2}{25}=\frac{4}{25}$$.

После сокращения левой части на $$25$$ имеем $$x^2=\frac{4}{25}$$.
Теперь освободимся от квадрата.

Глядя на уравнение $$x^2=\frac{4}{25}$$ рассуждаем так: некоторое число $$x$$ в квадрате равно $$\frac{4}{25}$$. Значит, чтобы найти число $$x$$ без квадрата, надо из числа $$\frac{4}{25}$$ извлечь квадратный корень. А из любого положительного числа можно извлечь два квадратных корня: один положительный и один отрицательный.

Итак, получим $$x_{1,2}=\pm\sqrt\frac{4}{25}$$,

то есть $$x_{1,2}=\pm\frac{2}{5}$$.

Иначе это записывается так: $$x_1=\frac{2}{5},$$ и $$x_2=-\frac{2}{5}$$.

Уравнение решено!

Запись решения вторым способом в тетради

$$25x^2-4=0$$

$$25x^2=4~|:25$$

$$\frac{25x^2}{25}=\frac{4}{25}$$

$$x^2=\frac{4}{25}$$

$$x_{1,2}=\pm\sqrt\frac{4}{25}$$

$$x_{1,2}=\pm\frac{2}{5}$$

$$x_1=\frac{2}{5};$$ или $$x_2=-\frac{2}{5}$$

$$x_1=0,4;$$ ли $$x_2=-0,4$$

Ответ: $$-0,4;$$  $$0,4$$

Интересная статья? Поделитесь ею, пожалуйста, с другими:
Оставьте свой комментарий:

на Блоге
в Вконтакте
в Фейсбук