Неполные квадратные уравнения. Часть 2

Содержание

Первый способ решения уравнения $25x^2-4=0$ объяснение
Запись решения первым способом в тетради
Второй способ решения уравнения $25x^2-4=0$ объяснение
Запись решения вторым способом в тетради

Решим уравнение $25x^2-4=0$ .
Это уравнение можно решить двумя способами.

Во-первых, это тоже «подарок судьбы», так как справа нуль, а левую часть можно разложить на множители по формуле разность квадратов двух выражений.

Во-вторых можно использовать способ, условно называющийся «неизвестные члены — влево, известные — вправо».

Первый способ решения уравнения $25x^2-4=0$ объяснение

Левую часть уравнения разложим на множители, получим $25x^2-4=0$ .
Каждое слагаемое левой части представим в виде квадрата, получим такое уравнение $(5x)^2-2^2=0$ .

Слева явно видна формула разность квадратов двух выражений. По этой формуле разложим левую часть на множители, получим уравнение $(5x-2)\cdot(5x+2)=0$ .

Слева стоит произведение двух множителей, справа — нуль. То есть эту ситуация можно прочитать по-русски так: произведение равно нулю.

А мы знаем, что произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Таким образом, уравнение распадается на два более простых линейных уравнения.

Получается такая запись $5x-2=0$ или $~~5x+2=0$ .

Каждое из этих уравнений решаем способом «неизвестные — влево, известные — вправо». Не забываем при этом менять знаки у тех членов, которые переносим из одной части уравнения в другую.

Получим следующее $5x=2$ или $5x=-2$ .

Чтобы избавиться от коэффициента 5 перед $x$ , обе части каждого уравнения разделим на 5.

Уравнения станут такими $\frac{5x}{5}=\frac{2}{5}$ или $\frac{5x}{5}=\frac{-2}{5}$ .

После элементарных преобразований получим $x=\frac{2}{5}$ или $x=-\frac{2}{5}$ . Каждую из полученных обыкновенных дробей можно превратить в десятичную, получим $x=0{,}4$ или $x=-0{,}4$ . Уравнение решено.

К содержанию

Запись решения первым способом в тетради

$25x^2-4=0$

$(5x)^2-2^2=0$

$(5x-2)\cdot(5x+2)=0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл, то есть

$5x-2=0$ или $5x+2=0$

$5x=2~|:5$ или $5x=-2~|:5$

$x=\frac{2}{5}$ или $x=-\frac{2}{5}$

$x=0,4$ или $x=-0,4$

Ответ: $-0{,}4; ~0{,}4$ .

К содержанию

Второй способ решения уравнения $25x^2-4=0$ объяснение

$25x^2-4=0$

Так как в левой части уравнения один член неизвестный (он содержит переменную $x$ ), а второй член известный, то можно воспользоваться способом «неизвестные — влево, известные — вправо».

Оставим неизвестный член $25x^2$ слева, а известный член (-4) перенесём в правую часть с противоположным знаком, получим $25x^2=4$ .

Из этого уравнения нам надо найти $x$ . Иными словами надо сделать так, чтобы в левой части уравнения стояла только буква $x$ . Значит, надо избавиться от $25$ и от квадрата.

Вначале избавимся от числа 25. Число 25 умножается на $x^2$ , а от умножения избавляемся делением.

Итак, для того, чтобы избавиться от 25, обе части уравнения $25x^2=4$ разделим на это число 25, получим $\frac{25x^2}{25}=\frac{4}{25}$ .

После сокращения левой части на 25 имеем $x^2=\frac{4}{25}$ .
Теперь освободимся от квадрата.

Глядя на уравнение $x^2=\frac{4}{25}$ рассуждаем так: некоторое число $x$ в квадрате равно $\frac{4}{25}$ .

Значит, чтобы найти число $x$ без квадрата, надо из числа $\frac{4}{25}$ извлечь квадратный корень.

А из любого положительного числа можно извлечь два квадратных корня: один положительный и один отрицательный.

Итак, получим $x=\pm\sqrt\frac{4}{25}$ ,

то есть $x=\pm\frac{2}{5}$ .

Иначе это записывается так: $x_1=\frac{2}{5},$ и $x_2=-\frac{2}{5}$ .

Уравнение решено!

К содержанию

Запись решения вторым способом в тетради

$25x^2-4=0$

$25x^2=4~|:25$

$\frac{25x^2}{25}=\frac{4}{25}$

$x^2=\frac{4}{25}$

$x=\pm\sqrt\frac{4}{25}$

$x=\pm\frac{2}{5}$

$x_1=\frac{2}{5}$

$x_2=-\frac{2}{5}$

Ответ: $-0{,}4;$ $0{,}4$

К содержанию

Интересная статья? Поделитесь ею, пожалуйста, с другими:

Нина Николайчук

Как успешно обучать математике? Как научить каждого ученика? Как предупредить неуспеваемость? Как помочь слабоуспевающим детям? Я, Нина Васильевна Николайчук, учитель математики с 40-летним опытом работы, всегда рада помочь!