Что такое «Квадратное уравнение»

  Автор:
  1641

Из этой статьи Вы узнаете:

  1. Как узнать «в лицо» квадратное уравнение
  2. Полные и неполные квадратные уравнения
  3. Расположение членов квадратного уравнения
  4. Как найти коэффициенты квадратного уравнения

Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли ли это уравнение квадратным уравнением или не будет. А очень просто!

Как узнать «в лицо» квадратное уравнение

Во-первых,  в этом уравнении обязательно должен быть член с [pmath]x^2[/pmath], то есть [pmath]x[/pmath] в квадрате, например, [pmath]4x^2[/pmath].

Именно отсюда и пошло название — квадратное уравнение. По-другому их называют уравнениями второй степени, так как [pmath]x[/pmath]стоит во второй степени. В этом уравнении ещё могут быть (а могут и не быть) члены, содержащие [pmath]x[/pmath] в первой степени, например, [pmath]5x[/pmath] или члены, которые вообще безо всякого [pmath]x[/pmath], то есть просто «чистые» числа без переменной, например, число [pmath]-2[/pmath].

Во-вторых, уравнение не должно иметь членов, содержащих [pmath]x[/pmath] в третьей степени или в четвёртой или в любой другой степени, большей, чем [pmath]2[/pmath]. Иными словами, самая большая степень переменной [pmath]x[/pmath] в квадратном уравнении равна [pmath]2[/pmath]. Например, уравнение [pmath]7x^3+9x^2-~3x-2=0[/pmath] не является квадратным уравнением, так как здесь есть [pmath]x^3[/pmath]. А в квадратном уравнении не должно быть [pmath]x[/pmath] в степени, большей, чем число [pmath]2[/pmath].

В третьих,  уравнение обязательно должно быть целым. Иначе говоря, в уравнении нигде не должно быть деления на выражение с переменной, то есть с [pmath]x[/pmath].

Например, уравнение [pmath]{9}/{x^2}-~3x-~2=0[/pmath]  не является целым уравнением,  потому что в первом члене есть деление на выражение с переменной.  В знаменателе стоит [pmath]x^2[/pmath],  то есть [pmath]9[/pmath] делится на [pmath]x^2[/pmath]. Такое уравнение называется дробно-рациональным уравнением. Квадратным оно, конечно, не является, хотя здесь есть [pmath]x^2[/pmath].

А вот если первый член этого уравнения записать как [pmath]9[/pmath] умножить на [pmath]x^2[/pmath], то в результате получим уже целое уравнение [pmath]9x^2-~3x-~2=0[/pmath]. А будет ли оно квадратным? Да, будет! Потому что здесь есть [pmath]x^2[/pmath] и нет [pmath]x[/pmath] в степени, большей чем 2.

Полные и неполные квадратные уравнения

Приведём примеры конкретных квадратных уравнений. Например, таких:
1) [pmath]5x^2+3x-~4=~0[/pmath];
2) [pmath]7x^2+8x=~0[/pmath];
3) [pmath]9x^2-~4=~0[/pmath];
4) [pmath]8x^2=~0[/pmath].

Обратите внимание на некоторые особенности этих уравнений.

Во-первых, у них у всех есть [pmath]x^2[/pmath]. Причём, нет [pmath]x[/pmath] в степени, большей, чем [pmath]2[/pmath].

Во-вторых, справа стоит число [pmath]0[/pmath].

В третьих, в левой части уравнения все члены расположены в строго определённом порядке. На первом месте всегда стоит член с [pmath]x^2[/pmath], на втором месте член с переменной [pmath]x[/pmath], на третьемчисло, не связанное с [pmath]x[/pmath].

Если все члены уравнения перемешаны и стоят не на своих местах, то надо обязательно такое уравнение преобразовать. Далее поговорим об этом подробнее.

Первое уравнение [pmath]5x^2+3x-~4=~0[/pmath] имеет полный набор членов. У него есть и [pmath]x^2[/pmath], и [pmath]x[/pmath], и свободный член [pmath]c[/pmath]. Такие уравнения называются полные квадратные уравнения.
Итак, уравнение [pmath]5x^2+3x-~4=~0[/pmath] является полным квадратным уравнением.

А вот во втором уравнении [pmath]7x^2+8x=~0[/pmath] нет свободного члена.
В третьем уравнении [pmath]9x^2-~4=~0[/pmath] нет [pmath]x[/pmath].
А в четвёртом [pmath]8x^2=~0[/pmath] нет и [pmath]x[/pmath], и свободного члена [pmath]c[/pmath].

Такие уравнения называются неполные квадратные уравнения.

Итак, уравнения
[pmath]7x^2+8x=~0[/pmath]
[pmath]9x^2-~4=~0[/pmath]
[pmath]8x^2=~0[/pmath] являются неполными квадратными уравнениями.

Каждое из четырёх уравнений, записанных выше, можно представить в виде такой общей формулы [pmath]ax^2+bx+c=0[/pmath], где буквами [pmath]a,~b[/pmath] и [pmath]c[/pmath] обозначены какие-то конкретные числа. Эти числа называют коэффициентами квадратного уравнения.

Каждый коэффициент имеет специальное название:

[pmath]a[/pmath] это первый коэффициент или иначе старший коэффициент;
[pmath]b[/pmath] это второй коэффициент;
[pmath]c[/pmath] это свободный член.

Число [pmath]c[/pmath] не называют третий коэффициент. Для него существует специальное название «свободный член». Потому что он свободен от переменной [pmath]x[/pmath]!

Расположение членов квадратного уравнения

Для безошибочного решения квадратного уравнения очень важно правильно располагать все его составляющие.

Для этого надо чётко знать, что:

в правой части квадратного уравнения должно стоять число [pmath]0[/pmath];
в левой части на первом месте должно стоять слагаемое с [pmath]x^2[/pmath];
на втором месте слагаемое с переменной [pmath]x[/pmath] ;
на третьем месте — свободный член (число без [pmath]x[/pmath]).

Если квадратное уравнение записано в соответствии с этими правилами, то говорят, что это квадратное уравнение записано в стандартном виде.

А теперь посмотрим, как всё это выглядит на практике.

В соответствии с предложенными выше рекомендациями, преобразуем уравнение [pmath]2+3x^2=~4x[/pmath] к стандартному виду.

Мы видим, что это уравнение напоминает квадратное уравнение. Здесь есть и член с [pmath]x^2[/pmath],  и член с [pmath]x[/pmath], и свободный член. Надо только расставить их по своим местам. Сделаем это.

Во-первых, правая часть должна быть равна нулю. Значит, одночлен [pmath]4x[/pmath] надо перенести влево с противоположным знаком. Напомню, что при переносе члена из одной части уравнения в другую часть знак этого члена меняется на противоположный. После переноса данное уравнение примет такой вид [pmath]2+3x^2-~4x=0[/pmath]. Итак, правая часть уравнения стала равной нулю.

Во-вторых, в левой части уравнения на первом месте должно стоять слагаемое с [pmath]x^2[/pmath], на втором месте слагаемое с переменной [pmath]x[/pmath], на третьем — свободный член.

Выполним эти требования, пользуясь переместительным законом сложения. Знаки слагаемых при этом не меняем, так как мы не переносим слагаемые из одной части уравнения в другую. Эти слагаемые как были в левой части, так они в левой части и остались. Они просто меняются местами друг с другом. Уравнение станет таким [pmath]3x^2-~4x+2=0[/pmath]

Как найти коэффициенты квадратного уравнения

Итак, после всех преобразований мы получили уравнение [pmath]3x^2-~4x+2=0[/pmath]. Это уравнение уже записано в стандартном виде. Общий вид уравнения таков [pmath]ax^2+bx+c=0[/pmath]. Напомню — буквами [pmath]a,~b,~c[/pmath] обозначены коэффициенты квадратного уравнения.

В уравнении [pmath]3x^2-~4x+2=0[/pmath] коэффициенты чётко видны: [pmath]a=3[/pmath], [pmath]b=-4[/pmath], [pmath]c=2[/pmath].
[pmath]a[/pmath] это то число, которое стоит перед [pmath]x^2[/pmath],то есть число [pmath]3[/pmath].
[pmath]b[/pmath]это то число, которое стоит перед [pmath]x[/pmath], то есть число [pmath]-4[/pmath].
[pmath]c[/pmath] это свободный член, то есть число [pmath]2[/pmath].

А вот с уравнением [pmath]7x^2+8x=0[/pmath] не всё так просто! В левой части квадратного уравнения должно стоять три члена, а здесь их только два. Есть член с [pmath]x^2[/pmath], есть член с [pmath]x[/pmath], но нет свободного члена, который обозначается буквой [pmath]c[/pmath]. Это значит, что он просто равен нулю, то есть [pmath]c=0[/pmath].

Если записать уравнение [pmath]7x^2+8x=0[/pmath] так, чтобы слева было три члена, то получим следующее [pmath]7x^2+8x+0=0[/pmath]. А теперь мы запросто можем выписать его коэффициенты, получим: [pmath]a=7[/pmath], [pmath]b=8[/pmath], [pmath]c=0[/pmath].

В уравнении [pmath]9x^2-~4=0[/pmath] почти аналогичная ситуация. Только здесь не хватает члена с переменной [pmath]x[/pmath].

Преобразуем данное уравнение так, чтобы все три члена были явно видны и стояли на своих местах. Получим [pmath]9x^2+0*x-4=0[/pmath] (крестиком [pmath]*[/pmath] обозначен знак умножения).

А теперь легко выписать его коэффициенты [pmath]a=9[/pmath]; [pmath]b=0[/pmath]; [pmath]c=-4[/pmath].

А как же найти коэффициенты квадратного уравнения [pmath]8x^2=~0[/pmath]? У него в левой части вообще только один член! Он содержит [pmath]x^2[/pmath].

Здесь нет члена с [pmath]x[/pmath], значит, коэффициент перед [pmath]x[/pmath] равен нулю. Нет и свободного члена [pmath]c[/pmath], значит, он тоже равен нулю.

Пользуясь этой информацией, запишем данное уравнение [pmath]8x^2=~0[/pmath] так, чтобы явно были видны все три члена и они стояли бы на своих местах. Получим такое уравнение[pmath]8x^2+0*x+0=~0[/pmath]. А теперь выписываем коэффициенты [pmath]a=8[/pmath]; [pmath]b=0[/pmath]; [pmath]c=0[/pmath].

Вот так хитренько устроены квадратные уравнения!

Интересная статья? Поделитесь ею, пожалуйста, с другими:
Оставьте свой комментарий:

на Блоге
в Вконтакте
в Фейсбук