Квадратное уравнение | Как успешно обучать математике

Содержание

Как узнать «в лицо» квадратное уравнение
Полные и неполные квадратные уравнения
Расположение членов квадратного уравнения
Как найти коэффициенты квадратного уравнения

Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли ли это уравнение квадратным уравнением или не будет. А очень просто!

Как узнать «в лицо» квадратное уравнение

Во-первых, в этом уравнении обязательно должен быть член с $x^2$ , то есть $x$ в квадрате, например, $4x^2$ .

Именно отсюда и пошло название — квадратное уравнение. По-другому их называют уравнениями второй степени, так как $x$ стоит во второй степени. В этом уравнении ещё могут быть (а могут и не быть) члены, содержащие $x$ в первой степени, например, $5x$ или члены, которые вообще безо всякого $x$ , то есть просто «чистые» числа без переменной, например, число $-2$ .

Во-вторых, уравнение не должно иметь членов, содержащих $x$ в третьей степени или в четвёртой или в любой другой степени, большей, чем $2$ . Иными словами, самая большая степень переменной $x$ в квадратном уравнении равна $2$ . Например, уравнение $7x^3+9x^2-3x-2=0$ не является квадратным уравнением, так как здесь есть $x^3$ . А в квадратном уравнении не должно быть $x$ в степени, большей, чем число $2$ .

В третьих, уравнение обязательно должно быть целым. Иначе говоря, в уравнении нигде не должно быть деления на выражение с переменной, то есть с $x$ .

Например, уравнение $\frac{9}{x^2}-3x-2=0$ не является целым уравнением, потому что в первом члене есть деление на выражение с переменной. В знаменателе стоит $x^2$ , то есть $9$ делится на $x^2$ . Такое уравнение называется дробно-рациональным уравнением. Квадратным оно, конечно, не является, хотя здесь есть $x^2$ .

А вот если первый член уравнения записать как $9$ умножить на $x^2$ , то в результате получим уже целое уравнение $9x^2-3x-2=0$ . А будет ли оно квадратным? Да, будет! Потому что здесь есть $x^2$ и нет $x$ в степени, большей чем $2$ .

К содержанию

Полные и неполные квадратные уравнения

Приведём примеры конкретных квадратных уравнений. Например, таких:
1) $5x^2+3x-4=0$ ;
2) $7x^2+8x=0$ ;
3) $9x^2-4=0$ ;
4) $8x^2=0$ .

Обратите внимание на некоторые особенности этих уравнений.

Во-первых, у них у всех есть $x^2$ . Причём, нет $x$ в степени, большей, чем $2$ .

Во-вторых, справа стоит число 0.

В третьих, в левой части уравнения все члены расположены в строго определённом порядке. На первом месте всегда стоит член с $x^2$ , на втором месте член с переменной $x$ , на третьем — число, не связанное с $x$ .

Если все члены уравнения перемешаны и стоят не на своих местах, то надо обязательно такое уравнение преобразовать. Далее поговорим об этом подробнее.

Первое уравнение $5x^2+3x-4=0$ имеет полный набор членов. У него есть и $x^2$ , и $x$ , и свободный член $c$ . Такие уравнения называются полные квадратные уравнения.
Итак, уравнение $5x^2+3x-4=0$ является полным квадратным уравнением.

А вот во втором уравнении $7x^2+8x=0$ нет свободного члена.
В третьем уравнении $9x^2-4=0$ нет $x$ .
А в четвёртом $8x^2=0$ нет и $x$ , и свободного члена $c$ .

Такие уравнения называются неполные квадратные уравнения.

Итак, уравнения
$7x^2+8x=0$
$9x^2-4=0$
$8x^2=0$ являются неполными квадратными уравнениями.

Каждое из четырёх уравнений, записанных выше, можно представить в виде такой общей формулы $ax^2+bx+c=0$ , где буквами $a, b$ и $c$ обозначены какие-то конкретные числа. Эти числа называют коэффициентами квадратного уравнения.

Каждый коэффициент имеет специальное название:

$a$ это первый коэффициент или иначе старший коэффициент;
$b$ это второй коэффициент;
$c$ это свободный член.

Число $c$ не называют третий коэффициент. Для него существует специальное название «свободный член». Потому что он свободен от переменной $x$ !

К содержанию

Расположение членов квадратного уравнения

Для безошибочного решения квадратного уравнения очень важно правильно располагать все его составляющие.

Для этого надо чётко знать, что:

в правой части квадратного уравнения должно стоять число 0;
в левой части на первом месте должно стоять слагаемое с $x^2$ ;
на втором месте слагаемое с переменной $x$ ;
на третьем месте — свободный член (число без $x$ ).

Если квадратное уравнение записано в соответствии с этими правилами, то говорят, что это квадратное уравнение записано в стандартном виде.

А теперь посмотрим, как всё это выглядит на практике.

В соответствии с предложенными выше рекомендациями, преобразуем уравнение $2+3x^2=4x$ к стандартному виду.

Мы видим, что это уравнение напоминает квадратное уравнение. Здесь есть и член с $x^2$ , и член с $x$ , и свободный член. Надо только расставить их по своим местам. Сделаем это.

Во-первых, правая часть должна быть равна нулю. Значит, одночлен $4x$ надо перенести влево с противоположным знаком. Напомню, что при переносе члена из одной части уравнения в другую часть знак этого члена меняется на противоположный. После переноса данное уравнение примет такой вид $2+3x^2-4x=0$ . Итак, правая часть уравнения стала равной нулю.

Во-вторых, в левой части уравнения на первом месте должно стоять слагаемое с $x^2$ , на втором месте слагаемое с переменной $x$ , на третьем — свободный член.

Выполним эти требования, пользуясь переместительным законом сложения. Знаки слагаемых при этом не меняем, так как мы не переносим слагаемые из одной части уравнения в другую. Эти слагаемые как были в левой части, так они в левой части и остались. Они просто меняются местами друг с другом. Уравнение станет таким $3x^2-4x+2=0$ .

К содержанию

Как найти коэффициенты квадратного уравнения

Итак, после всех преобразований мы получили уравнение $3x^2-4x+2=0$ . Это уравнение уже записано в стандартном виде. Общий вид уравнения таков $ax^2+bx+c=0$ . Напомню — буквами $a, b, c$ обозначены коэффициенты квадратного уравнения.

В уравнении $3x^2-4x+2=0$ коэффициенты чётко видны:
$a=3$ , $b=-4$ , $c=2$ .

$a$ это то число, которое стоит перед $x^2$ , то есть число $3$ .
$b$ это то число, которое стоит перед $x$ , то есть число $-4$ .
$c$ это свободный член, то есть число $2$ .

А вот с уравнением $7x^2+8x=0$ не всё так просто! В левой части квадратного уравнения должно стоять три члена, а здесь их только два. Есть член с $x^2$ , есть член с $x$ , но нет свободного члена, который обозначается буквой $c$ . Это значит, что он просто равен нулю, то есть c=0.

Если записать уравнение $7x^2+8x=0$ так, чтобы слева было три члена, то получим следующее $7x^2+8x+0=0$ . А теперь мы запросто можем выписать его коэффициенты, получим: $a=7$ , $b=8$ , $c=0$ .

В уравнении $9x^2-4=0$ почти аналогичная ситуация. Только здесь не хватает члена с переменной $x$ .

Преобразуем данное уравнение так, чтобы все три члена были явно видны и стояли на своих местах. Получим $9x^2+0\cdotx-4=0$ .

А теперь легко выписать его коэффициенты $a=9$ ; $b=0$ ; $c=-4$ .

А как же найти коэффициенты квадратного уравнения $8x^2=0$ ? У него в левой части вообще только один член! Он содержит $x^2$ .

Здесь нет члена с $x$ , значит, коэффициент перед $x$ равен нулю. Нет и свободного члена $c$ , значит, он тоже равен нулю.

Пользуясь этой инфoрмацией, запишем данное уравнение $8x^2=0$ так, чтобы явно были видны все три члена и они стояли бы на своих местах. Получим такое уравнение $8x^2+0\cdot{x}+0=0$ . А теперь выписываем коэффициенты $a=8$ ; $b=0$ ; $c=0$ .

Вот так хитренько устроены квадратные уравнения!

К содержанию

Интересная статья? Поделитесь ею, пожалуйста, с другими:

Нина Николайчук

Как успешно обучать математике? Как научить каждого ученика? Как предупредить неуспеваемость? Как помочь слабоуспевающим детям? Я, Нина Васильевна Николайчук, учитель математики с 40-летним опытом работы, всегда рада помочь!