Что такое «Квадратное уравнение»

  Автор:
  1981

Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли ли это уравнение квадратным уравнением или не будет. А очень просто!

Как узнать «в лицо» квадратное уравнение

Во-первых,  в этом уравнении обязательно должен быть член с x^2, то есть x в квадрате, например, 4x^2.

Именно отсюда и пошло название — квадратное уравнение. По-другому их называют уравнениями второй степени, так как x стоит во второй степени. В этом уравнении ещё могут быть (а могут и не быть) члены, содержащие x в первой степени, например, 5x или члены, которые вообще безо всякого x, то есть просто «чистые» числа без переменной, например, число -2.

Во-вторых, уравнение не должно иметь членов, содержащих x в третьей степени или в четвёртой или в любой другой степени, большей, чем 2. Иными словами, самая большая степень переменной x в квадратном уравнении равна 2. Например, уравнение 7x^3+9x^2-3x-2=0 не является квадратным уравнением, так как здесь есть x^3. А в квадратном уравнении не должно быть x в степени, большей, чем число 2.

В третьих,  уравнение обязательно должно быть целым. Иначе говоря, в уравнении нигде не должно быть деления на выражение с переменной, то есть с x.

Например, уравнение \frac{9}{x^2}-3x-2=0 не является целым уравнением,  потому что в первом члене есть деление на выражение с переменной.  В знаменателе стоит x^2, то есть 9 делится на x^2. Такое уравнение называется дробно-рациональным уравнением. Квадратным оно, конечно, не является, хотя здесь есть x^2.

А вот если первый член уравнения записать как 9 умножить на x^2, то в результате получим уже целое уравнение 9x^2-3x-2=0. А будет ли оно квадратным? Да, будет! Потому что здесь есть x^2 и нет x в степени, большей чем 2.

К содержанию

Полные и неполные квадратные уравнения

Приведём примеры конкретных квадратных уравнений. Например, таких:
1) 5x^2+3x-4=0;
2) 7x^2+8x=0;
3) 9x^2-4=0;
4) 8x^2=0.

Обратите внимание на некоторые особенности этих уравнений.

Во-первых, у них у всех есть x^2. Причём, нет x в степени, большей, чем 2.

Во-вторых, справа стоит число 0.

В третьих, в левой части уравнения все члены расположены в строго определённом порядке. На первом месте всегда стоит член с x^2, на втором месте член с переменной x, на третьемчисло, не связанное с x.

Если все члены уравнения перемешаны и стоят не на своих местах, то надо обязательно такое уравнение преобразовать. Далее поговорим об этом подробнее.

Первое уравнение 5x^2+3x-4=0 имеет полный набор членов. У него есть и x^2, и x, и свободный член c. Такие уравнения называются полные квадратные уравнения.
Итак, уравнение 5x^2+3x-4=0 является полным квадратным уравнением.

А вот во втором уравнении 7x^2+8x=0 нет свободного члена.
В третьем уравнении 9x^2-4=0 нет x.
А в четвёртом 8x^2=0 нет и x, и свободного члена c.

Такие уравнения называются неполные квадратные уравнения.

Итак, уравнения
7x^2+8x=0
9x^2-4=0
8x^2=0 являются неполными квадратными уравнениями.

Каждое из четырёх уравнений, записанных выше, можно представить в виде такой общей формулы ax^2+bx+c=0, где буквами a, b и c обозначены какие-то конкретные числа. Эти числа называют коэффициентами квадратного уравнения.

Каждый коэффициент имеет специальное название:

a это первый коэффициент или иначе старший коэффициент;
b это второй коэффициент;
c это свободный член.

Число c не называют третий коэффициент. Для него существует специальное название «свободный член». Потому что он свободен от переменной x!

К содержанию

Расположение членов квадратного уравнения

Для безошибочного решения квадратного уравнения очень важно правильно располагать все его составляющие.

Для этого надо чётко знать, что:

в правой части квадратного уравнения должно стоять число 0;
в левой части на первом месте должно стоять слагаемое с x^2;
на втором месте слагаемое с переменной x;
на третьем месте — свободный член (число без x).

Если квадратное уравнение записано в соответствии с этими правилами, то говорят, что это квадратное уравнение записано в стандартном виде.

А теперь посмотрим, как всё это выглядит на практике.

В соответствии с предложенными выше рекомендациями, преобразуем уравнение 2+3x^2=4x к стандартному виду.

Мы видим, что это уравнение напоминает квадратное уравнение. Здесь есть и член с x^2,  и член с x, и свободный член. Надо только расставить их по своим местам. Сделаем это.

Во-первых, правая часть должна быть равна нулю. Значит, одночлен 4x надо перенести влево с противоположным знаком. Напомню, что при переносе члена из одной части уравнения в другую часть знак этого члена меняется на противоположный. После переноса данное уравнение примет такой вид 2+3x^2-4x=0. Итак, правая часть уравнения стала равной нулю.

Во-вторых, в левой части уравнения на первом месте должно стоять слагаемое с x^2, на втором месте слагаемое с переменной x, на третьем — свободный член.

Выполним эти требования, пользуясь переместительным законом сложения. Знаки слагаемых при этом не меняем, так как мы не переносим слагаемые из одной части уравнения в другую. Эти слагаемые как были в левой части, так они в левой части и остались. Они просто меняются местами друг с другом. Уравнение станет таким 3x^2-4x+2=0.

К содержанию 

Как найти коэффициенты квадратного уравнения

Итак, после всех преобразований мы получили уравнение 3x^2-4x+2=0. Это уравнение уже записано в стандартном виде. Общий вид уравнения таков ax^2+bx+c=0. Напомню — буквами a, b, c обозначены коэффициенты квадратного уравнения.

В уравнении 3x^2-4x+2=0 коэффициенты чётко видны:
a=3, b=-4, c=2.

a это то число, которое стоит перед x^2, то есть число 3.
b это то число, которое стоит перед x, то есть число -4.
c это свободный член, то есть число 2.

А вот с уравнением 7x^2+8x=0 не всё так просто! В левой части квадратного уравнения должно стоять три члена, а здесь их только два. Есть член с x^2, есть член с x, но нет свободного члена, который обозначается буквой c. Это значит, что он просто равен нулю, то есть c=0.

Если записать уравнение 7x^2+8x=0 так, чтобы слева было три члена, то получим следующее 7x^2+8x+0=0. А теперь мы запросто можем выписать его коэффициенты, получим: a=7, b=8, c=0.

В уравнении 9x^2-4=0 почти аналогичная ситуация. Только здесь не хватает члена с переменной x.

Преобразуем данное уравнение так, чтобы все три члена были явно видны и стояли на своих местах. Получим 9x^2+0\cdotx-4=0.

А теперь легко выписать его коэффициенты a=9; b=0; c=-4.

А как же найти коэффициенты квадратного уравнения 8x^2=0? У него в левой части вообще только один член! Он содержит x^2.

Здесь нет члена с x, значит, коэффициент перед x равен нулю. Нет и свободного члена c, значит, он тоже равен нулю.

Пользуясь этой инфoрмацией, запишем данное уравнение 8x^2=0 так, чтобы явно были видны все три члена и они стояли бы на своих местах. Получим такое уравнение 8x^2+0\cdot{x}+0=0. А теперь выписываем коэффициенты a=8; b=0; c=0.

Вот так хитренько устроены квадратные уравнения!

К содержанию

Интересная статья? Поделитесь ею, пожалуйста, с другими:

Нина Николайчук

Как успешно обучать математике? Как научить каждого ученика? Как предупредить неуспеваемость? Как помочь слабоуспевающим детям? Я, Нина Васильевна Николайчук, учитель математики с 40-летним опытом работы, всегда рада помочь!

Подпишитесь на новости блога
Оставьте свой комментарий:

на Блоге
в Вконтакте
в Фейсбук