Что такое "Квадратное уравнение"

  Автор:
  959

Из этой статьи Вы узнаете:

  1. Как узнать "в лицо" квадратное уравнение
  2. Полные и неполные квадратные уравнения
  3. Расположение членов квадратного уравнения
  4. Как найти коэффициенты квадратного уравнения

Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли ли это уравнение квадратным уравнением или не будет. А очень просто!

Как узнать "в лицо" квадратное уравнение

Во-первых,  в этом уравнении обязательно должен быть член с x^2, то есть x в квадрате, например, 4x^2.

Именно отсюда и пошло название - квадратное уравнение. По-другому их называют уравнениями второй степени, так как xстоит во второй степени. В этом уравнении ещё могут быть (а могут и не быть) члены, содержащие x в первой степени, например, 5x или члены, которые вообще безо всякого x, то есть просто "чистые" числа без переменной, например, число -2.

Во-вторых, уравнение не должно иметь членов, содержащих x в третьей степени или в четвёртой или в любой другой степени, большей, чем 2. Иными словами, самая большая степень переменной x в квадратном уравнении равна 2. Например, уравнение 7x^3+9x^2-~3x-2=0 не является квадратным уравнением, так как здесь есть x^3. А в квадратном уравнении не должно быть x в степени, большей, чем число 2.

В третьих,  уравнение обязательно должно быть целым. Иначе говоря, в уравнении нигде не должно быть деления на выражение с переменной, то есть с x.

Например, уравнение {9}/{x^2}-~3x-~2=0  не является целым уравнением,  потому что в первом члене есть деление на выражение с переменной.  В знаменателе стоит x^2 то есть 9 делится на x^2. Такое уравнение называется дробно-рациональным уравнением. Квадратным оно, конечно, не является, хотя здесь есть x^2.

А вот если первый член этого уравнения записать как 9 умножить на x^2, то в результате получим уже целое уравнение 9x^2-~3x-~2=0. А будет ли оно квадратным? Да, будет! Потому что здесь есть x^2 и нет x в степени, большей чем 2.

Полные и неполные квадратные уравнения

Приведём примеры конкретных квадратных уравнений. Например, таких:
1) 5x^2+3x-~4=~0;
2) 7x^2+8x=~0;
3) 9x^2-~4=~0;
4) 8x^2=~0.

Обратите внимание на некоторые особенности этих уравнений.

Во-первых, у них у всех есть x^2. Причём, нет x в степени, большей, чем 2.

Во-вторых, справа стоит число 0.

В третьих, в левой части уравнения все члены расположены в строго определённом порядке. На первом месте всегда стоит член с x^2, на втором месте член с переменной x, на третьем - число, не связанное с x.

Если все члены уравнения перемешаны и стоят не на своих местах, то надо обязательно такое уравнение преобразовать. Далее поговорим об этом подробнее.

Первое уравнение 5x^2+3x-~4=~0 имеет полный набор членов. У него есть и x^2, и x, и свободный член c. Такие уравнения называются полные квадратные уравнения.
Итак, уравнение 5x^2+3x-~4=~0 является полным квадратным уравнением.

А вот во втором уравнении 7x^2+8x=~0 нет свободного члена.
В третьем уравнении 9x^2-~4=~0 нет x.
А в четвёртом 8x^2=~0 нет и x, и свободного члена c.

Такие уравнения называются неполные квадратные уравнения.

Итак, уравнения
7x^2+8x=~0
9x^2-~4=~0
8x^2=~0 являются неполными квадратными уравнениями.

Каждое из четырёх уравнений, записанных выше, можно представить в виде такой общей формулы ax^2+bx+c=0, где буквами a,~b и c обозначены какие-то конкретные числа. Эти числа называют коэффициентами квадратного уравнения.

Каждый коэффициент имеет специальное название:

a это первый коэффициент или иначе старший коэффициент;
b это второй коэффициент;
c это свободный член.

Число c не называют третий коэффициент. Для него существует специальное название "свободный член". Потому что он свободен от переменной x!

Расположение членов квадратного уравнения

Для безошибочного решения квадратного уравнения очень важно правильно располагать все его составляющие.

Для этого надо чётко знать, что:

в правой части квадратного уравнения должно стоять число 0;
в левой части на первом месте должно стоять слагаемое с x^2;
на втором месте слагаемое с переменной x ;
на третьем месте - свободный член (число без x).

Если квадратное уравнение записано в соответствии с этими правилами, то говорят, что это квадратное уравнение записано в стандартном виде.

А теперь посмотрим, как всё это выглядит на практике.

В соответствии с предложенными выше рекомендациями, преобразуем уравнение 2+3x^2=~4x к стандартному виду.

Мы видим, что это уравнение напоминает квадратное уравнение. Здесь есть и член с x^2,  и член с x, и свободный член. Надо только расставить их по своим местам. Сделаем это.

Во-первых, правая часть должна быть равна нулю. Значит, одночлен 4x надо перенести влево с противоположным знаком. Напомню, что при переносе члена из одной части уравнения в другую часть знак этого члена меняется на противоположный. После переноса данное уравнение примет такой вид 2+3x^2-~4x=0. Итак, правая часть уравнения стала равной нулю.

Во-вторых, в левой части уравнения на первом месте должно стоять слагаемое с x^2, на втором месте слагаемое с переменной x, на третьем - свободный член.

Выполним эти требования, пользуясь переместительным законом сложения. Знаки слагаемых при этом не меняем, так как мы не переносим слагаемые из одной части уравнения в другую. Эти слагаемые как были в левой части, так они в левой части и остались. Они просто меняются местами друг с другом. Уравнение станет таким 3x^2-~4x+2=0

Как найти коэффициенты квадратного уравнения

Итак, после всех преобразований мы получили уравнение 3x^2-~4x+2=0. Это уравнение уже записано в стандартном виде. Общий вид уравнения таков ax^2+bx+c=0. Напомню - буквами a,~b,~c обозначены коэффициенты квадратного уравнения.

В уравнении 3x^2-~4x+2=0 коэффициенты чётко видны: a=3, b=-4, c=2.
a это то число, которое стоит перед x^2,то есть число 3.
bэто то число, которое стоит перед x, то есть число -4.
c это свободный член, то есть число 2.

А вот с уравнением 7x^2+8x=0 не всё так просто! В левой части квадратного уравнения должно стоять три члена, а здесь их только два. Есть член с x^2, есть член с x, но нет свободного члена, который обозначается буквой c. Это значит, что он просто равен нулю, то есть c=0.

Если записать уравнение 7x^2+8x=0 так, чтобы слева было три члена, то получим следующее 7x^2+8x+0=0. А теперь мы запросто можем выписать его коэффициенты, получим: a=7, b=8, c=0.

В уравнении 9x^2-~4=0 почти аналогичная ситуация. Только здесь не хватает члена с переменной x.

Преобразуем данное уравнение так, чтобы все три члена были явно видны и стояли на своих местах. Получим 9x^2+0*x-4=0 (крестиком * обозначен знак умножения).

А теперь легко выписать его коэффициенты a=9; b=0; c=-4.

А как же найти коэффициенты квадратного уравнения 8x^2=~0? У него в левой части вообще только один член! Он содержит x^2.

Здесь нет члена с x, значит, коэффициент перед x равен нулю. Нет и свободного члена c, значит, он тоже равен нулю.

Пользуясь этой информацией, запишем данное уравнение 8x^2=~0 так, чтобы явно были видны все три члена и они стояли бы на своих местах. Получим такое уравнение8x^2+0*x+0=~0. А теперь выписываем коэффициенты a=8; b=0; c=0.

Вот так хитренько устроены квадратные уравнения!

Интересная статья? Поделитесь ею с друзьями!
Оставьте свой комментарий:

на Блоге
в Вконтакте
в Фейсбук